Unidad 2

Método de Bisección

1.3. Convergencia

Se entiende por convergencia de un método numérico la garantía de que, al realizar un “buen número” de iteraciones, las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cada vez más al verdadero valor buscado. En la medida en la que un método numérico requiera de un menor número de iteraciones que otro, para acercarse al valor deseado, se dice que tiene una mayor rapidez de convergencia.


Por definición, la serie ∑n k=1 a k converge al lı́mite L si y solo si la sucesión
de sumas parciales asociada converge a S n . Esta definición suele escribirse
como: 

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Referencias

Libro en versión electrónica

Burden, R. & Douglas, J. (2002). Análisis Numérico. Recuperado de https://drive.google.com/file/d/0B_YcnkuwDvAYM3FlTjE1X1l5QUE/view?usp=sharing

Chapra, S. & Canale, R. (2006). Métodos numéricos para ingenieros. Recuperado de https://drive.google.com/file/d/0B_YcnkuwDvAYSWMxZkJzRHE5U3M/view?usp=sharing

1.2. Tipos de errores

Definición de error:

Los errores numéricos son aquellos que se generan con el uso de aproximaciones para representar las cantidades y operaciones matemáticas.

Es importante tener en cuenta 2 conceptos: 

• Exactitud: Valor mas cercano al valor real.

• Precisión: se refiere a que tan cercano este un valor individual medido, respecto de otro.

Error absoluto 

Es representado por ea, se obtiene como el valor absoluto de la diferencia entre el valor exacto E y la aproximación a este valor E*. 

Se representa.

Si E* es una aproximación de E el error error absoluto está dado por |E − E* |

Error relativo 

En el error relativo er se define como el valor absoluto del cociente de la diferencia E* entre el valor E. 

Se representa.

Este error esta dado por |E − E∗ | / |E|, siempre y cuando E diferente de 0

Error de truncamiento

Son todos aquellos que se presentan al aproximar funciones analíticas por medio de series infinita esto se hace referente a los métodos numéricos cuando es difícil de realizar operaciones con alguna función complicada y se toma en su lugar los primeros términos de una serie que se aproxima a dicha función, también se presentan cuando utilizamos números irracionales, tales como π y e Ya que para trabajar con ellos se toma un numero de cifras significativas y se truncan las demás.

Error de redondeo

Se presenta como una secuencia directa de redondear a un determinado número de cifras decimales las cantidades que se operan en un procesos de solución. Este error se origina porque la aritmética realizada en una máquina involucra números con sólo un número finito de dígitos, considerando que los resultados son solo representaciones aproximadas de los números verdaderos.

Error porcentual 

Es la manifestación de un error relativo en términos porcentuales. En otras palabras, es un error numérico expresado por el valor que arroja un error relativo, posteriormente multiplicado por 100 

Error relativo= (Error Absoluto / Resultado Exacto) x 100%

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Burden, R. & Douglas, J. (2002). Análisis Numérico. Recuperado de https://drive.google.com/file/d/0B_YcnkuwDvAYM3FlTjE1X1l5QUE/view?usp=sharing

Chapra, S. & Canale, R. (2006). Métodos numéricos para ingenieros. Recuperado de https://drive.google.com/file/d/0B_YcnkuwDvAYSWMxZkJzRHE5U3M/view?usp=sharing

1.1. Conceptos básicos: Algoritmos y aproximaciones.

Algoritmo.

Un algoritmo es un conjunto secuencial de operaciones algebraicas y lógicas para obtener la solución de un problema o aproximarse a la solución del problema. utilizando un seudocódigo para describirlos. Los seudocódigos especifican la forma de entrada por proporcionar y la forma de salida deseada. Debido a que no siempre es posible obtener una salida satisfactoria es necesario incluir formas para detener el código y evitar ciclos infinitos. Generalmente, se dispone de varios algoritmos para resolver un problema particular, mediante una serie de datos precisos, definidos y finitos.

Los pasos para la resolución de un problema son:

1. Diseño de algoritmo, que describe la secuencia ordenada de pasos que conducen a la solución de un problema dado. (Análisis del problema y desarrollo del algoritmo).

2. Expresar el algoritmo como un programa de lenguaje de programación adecuado. (Fase decodificación.)

3. Ejecución y validación del programa por la computadora.

Para llegar a la realización de un programa es necesario el diseño previo de algoritmo, de modo que sin algoritmo no puede existir un programa. 

Los algoritmos son independientes tanto del lenguaje de programación en que se expresan como de la computadora que lo ejecuta. La definición de un algoritmo debe definir tres partes: Entrada, Proceso y Salida.

Ejemplo 1.

Aproximación.

Utilizando algoritmos iterativos es posible aproximar cantidades no aritméticas utilizando cantidades aritméticas. Dependiendo del tipo de problema generalmente, existirán varios posibles métodos para obtener la aproximación deseada, dependiendo de distintos criterios para juzgar cual es mas eficaz. Suponiendo que todos los métodos funcionen, se debe hace una pregunta muy importante cual de ellos es el que da la mejor aproximación. entras palabras ¿Qué error puede ser tolerado en el resultado?

En algunos conceptos básicos de los Métodos Numéricos podemos encontrar los siguientes: Cifra Significativa, Precisión, Exactitud, Incertidumbre Y Sesgo. Que forman parte a las aproximaciones y predicciones numéricas adecuadas.

Cifra Significativa:

Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos.

1.- Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar qué tan precisos son los resultados obtenidos.

2.- Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden expresar exactamente con un número finito de cifras.

Precisión y exactitud

Precisión: se refiere a la dispersión del conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud. Cuanto menor es la dispersión mayor la precisión. Una medida común de la variabilidad es la desviación estándar de las mediciones y la precisión se puede estimar como una función de ella. 

Exactitud: se refiere a cuán cerca del valor real se encuentra el valor medido. En términos estadísticos, la exactitud está relacionada con el sesgo de una estimación. Cuanto menor es el sesgo más exacto es una estimación. 

También se refiere a la aproximación de un numero o de una medida al valor verdadero que se supone representa. 

Cuando expresamos la exactitud de un resultado se expresa mediante el error absoluto que es la diferencia entre el valor experimental y el valor verdadero. 

También es la mínima variación de magnitud que puede apreciar un instrumento

Incertidumbre: 

Incertidumbre también se le conoce como Imprecisión. Se refiere al grado de alejamiento entre sí, a las diversas aproximaciones a un valor verdadero. Situación bajo la cual se desconocen las probabilidades de ocurrencia asociados a los diferentes resultados de un determinado evento. 

Sesgo: 

Existe sesgo cuando la ocurrencia de un error no aparece como un hechoaleatorio (al azar) advirtiéndose que este ocurre en forma sistemática Es un alejamiento sistemático del valor verdadero a calcular.

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Burden, R. & Douglas, J. (2002). Análisis Numérico. Recuperado de https://drive.google.com/file/d/0B_YcnkuwDvAYM3FlTjE1X1l5QUE/view?usp=sharing

Chapra, S. & Canale, R. (2006). Métodos numéricos para ingenieros. Recuperado de https://drive.google.com/file/d/0B_YcnkuwDvAYSWMxZkJzRHE5U3M/view?usp=sharing

Unidad 1

Introducción a los métodos numéricos

Los métodos numéricos es una rama de las matemáticas que, constituye en técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos, de tal forma que puedan resolverse utilizando operaciones aritméticas.

Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensión de los principios científicos básicos. 

El análisis numérico trata de diseñar métodos o un número de pasos finitos que se ejecutan de manera lógica para “ aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente, hasta cumplir con cirta cota de error.

El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.

Los métodos numéricos son una alternativa para la resolución de ecuaciones. La repetición de instrucciones lógicas (iteraciones), proceso que permite mejorar los valores inicialmente considerados como solución. Dado que se trata siempre de la misma operación lógica, resulta muy pertinente el uso de recursos de cómputo para realizar esta tarea.

Aunque existen muchos tipos de métodos numéricos, éstos comparten una característica común: invariablemente requieren de un buen número de tediosos cálculos aritméticos, donde resulta poco eficiente la matemática analítica. 

El desarrollo y el auge del uso del análisis numérico corre en forma paralela al desarrollo tecnológico de la computación. Con el desarrollo de calculadoras y computadoras digitales eficientes y rápidas, que fueron diceñadas para realizar una multitud prácticamente infita de operaciones algebraicas en intervalos de tiempo muy pequeños; esto las convierte en la herramienta ideal para la aplicación de los métodos numéricos. De hecho, el análisis numérico resulta ser la manera natural de resolver modelos matemáticos a través de la computadora.

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Burden, R. & Douglas, J. (2002). Análisis Numérico. Recuperado de https://drive.google.com/file/d/0B_YcnkuwDvAYM3FlTjE1X1l5QUE/view?usp=sharing

Chapra, S. & Canale, R. (2006). Métodos numéricos para ingenieros. Recuperado de https://drive.google.com/file/d/0B_YcnkuwDvAYSWMxZkJzRHE5U3M/view?usp=sharing